Rational Indices

Continue exponential lesson . . . .

The index laws used previously can also be applied to rational indices, or indices which are written as a fraction.

               Answer :

Pangkat Rasional

Lanjutan dari pelajaran eksponen . . . .

Hukum-hukum pangkat yang telah dijelaskan sebelumnya juga dapat digunakan pada penggunaan pangkat rasional atau pangkat pecahan.

         Jawaban :

Exponentials

We often know with number that are repeatedly multiplied together. In Mathematic, that be said indices or exponents to represent such expressions. For example, 5 x 5 x 5 = 5³.

Indices have many applications in areas such ac finance, engineering, physics, electronics, biology, and computer science. Problem in exponents may involve situations where quantities increase or decrease over time. Such problems are often examples of exponential growth or decay.

• Index Notation

Rather than writing 3 x 3 x 3 x 3 x 3, we can write such a product as 3­_­­⁵. 3⁵ reads “three to the power of five” or “ three with index five”.

thus 4³ = 4 x 4 x 4 and 5⁶ = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5

if n is positive integer,then an is the product from a with n factors, so: an = a x a x a x a x . . . . x a with a as many as n factors

• Negative Base

In discussion before, the examples only index from positive base. We will now briefly look at negative bases. Consider the statements below:

(-1)1 = -1	(-2)1 = -2
(-1)2 = -1 x -1 = 1	(-2)2 = -2 x -2 = 4
(-1)3 = -1 x -1 x -1 = -1	(-2)3 = -2 x -2 x -2 = -8
(-1)4 = -1 x -1 x -1 x -1 = 1	(-2)4 = -2 x -2 x -2 x -2 = 16

From the patterns above we can see that

a.       A negative base raised to an odd power is negatif

b.      A negative base raised to an even power is positive

• Index Law

The following are laws of indices for  m, n Î Z :

index Law	Information
am x an = am+n	To multiply numbers with the same base, keep the base and add the indices.
(am)/(an) = am-n , a ≠ 0	To devide numbers with the same base, keep the base and subtract the indices.
(am)n = am x n	When raising a power to a power, keep the base and multiply the indices.
(ab)n = anbn	The power of a product is the product of the powers.
(a/b)n = an/bn, b ≠ 0	The power of a quotient is the quotient of the powers.
a0 = 1, a ≠ 0	Any non-zero number raised to the power of zero is 1.
a-n = 1/an dan 1/a-n = an

Pemangkatan atau Eksponen

Seringkali kita berjumpa dengan angka yang disajikan dalam bentuk perkalian berulang pada angka yang sama. Di dalam matematika, hal itu disebut Pangkat atau eksponen untuk mewujudkan perkalian seperti itu. Sebagai contoh, 5 x 5 x 5 = 5³.

Pangkat banyak penggunaannya di dalam kehidupan sehari-hari seperti pada perhitungan keuangan, fisika, elektronika, biologi, dan ilmu komputer. Permasalahan yang dibahas pada bilangan eksponen antara lain situasi yang menyatakan jumlah kenaikan atau penurunan sepanjang waktu. Permasalahan yang sering dicontohkan adalah fungsi eksponen dari pertumbuhan dan peluruhan.

•       Notasi Pangkat

Pada penulisan 3 x 3 x 3 x 3 x 3, kita dapat menuliskan dengan 3­_­­⁵. 3⁵ dibaca “tiga dipangkatkan oleh lima” atau “ tiga dengan Pangkat lima”.

Seperti 4³ = 4 x 4 x 4 dan 5⁶ = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5

Jika n adalah bilangan bulat positif, dimana an adalah hasil dari a dengan n faktor. an = a x a x a x a x . . . . x a nilai a sebanyak n faktor

•  Basis Negatif

Pada pembahasan sebelumnya, hanya contoh dengan basis positif yang dipangkatkan. Jika sekarang diberikan contoh basis negatif maka akan diperoleh hasil sebagai berikut :

(-1)1 = -1	(-2)1 = -2
(-1)2 = -1 x -1 = 1	(-2)2 = -2 x -2 = 4
(-1)3 = -1 x -1 x -1 = -1	(-2)3 = -2 x -2 x -2 = -8
(-1)4 = -1 x -1 x -1 x -1 = 1	(-2)4 = -2 x -2 x -2 x -2 = 16

Catatan :

a.       Basis negatif yang dipangkatkan dengan pangkat ganjil hasilnya negatif

b.      Basis negatif yang dipangkatkan dengan pangkat genap hasilnya positif

• Hukum Pemangkatan

Selanjutnya adalah hukum pemangkatan untuk m, n Î Z :

Hukum Pemangkatan	Keterangan
am x an = am+n	Untuk perkalian angka-angka dengan basis yang sama maka basisnya tetap dan menambahkan pangkatnya.
(am)/(an) = am-n , a ≠ 0	Untuk pembagian angka-angka dengan basis yang sama maka basisnya tetap dan mengurangi pangkatnya.
(am)n = am x n	Jika muncul pangkat dipangkatkan maka basisnya tetap dan kalikan kedua pangkat tersebut.
(ab)n = anbn	Pangkat dari hasil perkalian angka-angka bernilai sama dengan perkalian dari hasil pemangkatannya.
(a/b)n = an/bn, b ≠ 0	Pangkat dari hasil pembagian angka-angka bernilai sama dengan pembagian dari hasil pemangkatannya.
a0 = 1, a ≠ 0	Untuk setiap angka bukan nol yang dipangkatkan dengan nol maka hasilnya 1.
a-n = 1/an dan 1/a-n = an